如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱为2，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是线段BC，B1C1的中点．（1）证明：A1E∥平面AC1D；（2）证明：平面AC1D⊥平面BCC1B1；（3）求三棱锥B-AC1D的体积．
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更新时间：2024-04-19 11:53:25
问题描述：
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱为2，底面是边长为2的等边三角形，D，E分别是线段BC，B1C1的中点．
（1）证明：A1E∥平面AC1D；
（2）证明：平面AC1D⊥平面BCC1B1；
（3）求三棱锥B-AC1D的体积．
宁志刚回答：
（1）证明：连接ED，则ED∥BB1∥AA1，且ED=BB1=AA1
∴四边形ADEA1是平行四边形，A1E∥AD，
∵AD⊂平面AC1D，A1E⊄平面AC1D，
∴A1E∥平面AC1D．
（2）证明：∵△ABC是等边三角形
∴AD⊥BC，
∵CC1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC
∴CC1⊥AD，
∵BC∩CC1=C，
∴AD⊥平面BCC1B1
∵AD⊂平面AC1D
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1
（3）BD=1，三棱锥B-AC1D的体积V
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